jueves, 29 de noviembre de 2012




Animación 1







Figura 1











Animación 2











Figura 2











Figura 3

Introducción
Cebollas y troncos de madera.
El método de cálculo integral que se explica en esta página, el de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Piénsese, por ejemplo, en el problema de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3 (Animación 1). A primera vista puede parecer que el método más adecuado para este cálculo consiste en hacer repetidas secciones transversales horizontales del sólido tajarlo por decirlo así y en integrar luego los volúmenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La primera está en que las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la región de integración en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso (Figura 1).
En cambio, el método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en esta situación. Básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total. En la Animación 2 se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución. Es por esto por lo que a este método se le conoce también como el método de las "capas", las "envolturas", las "envolventes" o los "cascarones" cilíndricos. 
Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geométrica que está involucrada en este método. Quizás resulte útil pensar en objetos cotidianos que presentan la misma configuración.. El primero que viene a la mente es posiblemente un trozo de cebolla pues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo de este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que, cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la cebolla (Figura 2).
También puede resultar útil pensar en la estructura interna de un tronco de árbol pues ésta consiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente cilíndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente color (Figura 3). Según los biólogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los árboles pues sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La única parte de los troncos encargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cámbium. En los árboles de las zonas de clima templado, el crecimiento no es constante y como la madera que produce el cámbium en primavera y en verano es más porosa y de un color más claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del árbol está compuesto por un par de anillos concéntricos nuevos cada año, uno más claro que el otro.
 
  





Figura 4


Animación 3


Figura 5


Animación 4


Figura 6


Animación 5

 

Planteamiento general
El método de los casquetes cilíndricos.
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura 4. Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2del cilindro exterior, así:
En esta expresión podemos reconocer varias cosas. Si ponemos  = 1/2 (r2 + r1), el radio medio de los cilindros, y si ponemos Dr = r2 − r1el grosor del casquete cilíndrico, entonces podemos expresar el volumen de la forma siguiente:
Esta expresión puede recordarse fácilmente si se piensa en que el casquete cilíndrico se abre y se aplana convirtiéndose en un caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la Animación 3.
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, es decir, la recta horizontal  y = 0 y las rectas verticales a y x = b, donde 0 < a < b. La región aparece representada en la Figura 5 y el sólido de revolución que engendra en laAnimación 4.
Dividamos el intervalo [ab] en n subintervalos [xi−1xi], todos con el mismo ancho:Dx = (b − a) / n. Sea xi* el punto medio del i-ésimo subintervalo. Consideremos el  rectángulo Ri construido sobre el i-ésimo subintervalo con una altura de (xi*) y hagámoslo girar en torno del eje y. Entonces se produce un casquete cilíndrico que tiene como radio medio xi*, como altura (xi*) y cuyo grosor es Dx = xi−1 − xi. (Véase Figura 6). Por lo tanto, el volumen Vi de este casquete cilíndrico está dado por:
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner casquetes cilíndricos de éstos, unos dentro de los otros, como lo ilustra la Animación 5 y después sumar los volúmenes de todos ellos:
Se puede probar que esta aproximación será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos. Por eso, se puede poner:
Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el cálculo de volúmenes con el método de los casquetes cilíndricos. Es la siguiente:
Regla general: El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:
En el Ejemplo 1 y en el Ejemplo 2 que aparecen a continuación se ilustra la aplicación directa de la regla general.. Los ejemplos siguientes sirven para ilustrar ciertos casos especiales en los que hay que hacer unas pequeñas modificaciones a la regla para ajustarla a una situación determinada. Puede pasar por ejemplo que la región que gira esté limitada por dos curvas (Ejemplo 3) o que gire alrededor de una recta vertical distinta al eje y (Ejemplo 4).







Animación 6
 

Ejemplo 1
El problema del comienzo.
Volvamos al problema planteado al comienzo de esta página, el de hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3. Como los señalamos en la Introducción, este volumen no puede calcularse fácilmente con el método de las secciones transversales pero sí con el método de los casquetes cilíndricos. En  este caso la región que gira está delimitada por la curva f(x) = x3 + 4x2 − 3x + 1, por el eje x y por las rectas verticales x = 0 y x = 3. La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función f(x) como lo muestra la Animación 6 y por eso, la integral para el volumen es:











Ejemplo 2
El volumen de un cono.
Demostrar, empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h  y con radio r en su abertura (Figura 7) está dado por:
Solución. Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y,  la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde  y r son números reales positivos (Animación 7).
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,hes:
 
puesto que su pendiente es m =  h/y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).
Ahora bien, para aplicar el método que nos ocupa, consideremos que el cono está formado por una serie de casquetes cilíndricos, incrustados los unos dentro de los otros, cuyos radios varían de 0 a r cuyas alturas varían de h. Naturalmente, la altura de cada cilindro está dada por la recta y = ( h/r ) x + h. Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña (Animación 8).
Debe ser claro entonces que un casquete cualquiera, de radio x, tiene como altura:
  
tal como se puede apreciar en la Figura 8. Por lo tanto, el volumen del cono viene dado por la integral:



Figura 9




Animación 9




Animación 10




Figura 10




Ejemplo 3
Una región delimitada por dos curvas.
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y =  x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.
SoluciónLa región en cuestión aparece dibujada en la Figura 9. En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores,  hay dos funciones involucradas que son:
El sólido de revolución que se genera al hacer girar esta región alrededor del eje ypuede verse en la Animación 9. Obsérvese que está limitado arriba y abajo por dos superficies de revolución curvas y en la parte interior y en la exterior por dossuperficies cilíndricas.
Consideremos ahora que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados, como antes, los  unos dentro de los otros (Animación 10). Esta vez los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x, puesto que  su base inferior está situada en la parábola y =  x2 + 4x − 3 mientras que su base superior está situada en la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 Por lo tanto, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura (Figura 10):
 
Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral:


Figura 11


Animación 11


Figura 12
 

Ejemplo 4
Alrededor de una vertical distinta al eje y.
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales x = 2,  x = 3, y la curva y = (x) donde:
La región en cuestión aparece representada en la Figura 11. Lo especial de este ejemplo es que la región gira alrededor de una recta vertical que no es el eje y como en los ejemplos anteriores. Esto puede apreciarse en la Animación 11 y trae como consecuencia que el radio medio de un casquete cilíndrico cualquiera, que tiene como altura (x), es x − 1 y no x como en los casos anteriores puesto que el casquete cilíndrico tiene como eje de rotación la recta vertical x = 1 (Figura 12). Por eso la integral del volumen es:
Esta integral puede descomponer en dos integrales, así:
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución u = x2 − 2x, por lo cual du = 2(x − 1)dx y, respecto de los límites de integración, si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Así pues:

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